Kombinationsrechner (nCr-Rechner) (2023)

Schnelle Navigation:

1. Was ist eine Kombination?
2. Wie berechnet man Kombinationen?

• Kombinationsformel ohne Wiederholung
• Formel für mögliche Kombinationen mit Wiederholung

Was ist eine Kombination?

Eine Kombination ist ein Weg dazuWählen Sie einen Teil einer Sammlung ausoder eine Reihe von Dingen, in denendie Reihenfolge spielt keine RolleUnd genau in diesen Fällen kann Ihnen unser Kombinationsrechner weiterhelfen. Wenn Sie beispielsweise einen neuen Laptop, ein neues Smartphone und einen neuen Anzug möchten, sich aber nur zwei davon leisten können, stehen Ihnen drei mögliche Kombinationen zur Auswahl: Laptop + Smartphone, Smartphone + Anzug und Laptop + Anzug. Die Reihenfolge, in der Sie sie kombinieren, spielt keine Rolle, da Sie die beiden, die Sie ausgewählt haben, sowieso kaufen. Kombinationen tauchen häufig auf, wenn Sie die Anzahl möglicher Verbindungen oder Gruppierungen zwischen Dingen oder Personen abschätzen müssen.

Das Berechnen von Kombinationen ist nützlich inGlücksspielewie Lotterie, Poker, Bingo und andere Arten von Glücksspielen oder Spielen, bei denen Sie Ihre Erfolgs- oder Misserfolgschancen (Quoten) kennen müssen, die normalerweise als Verhältnis zwischen der Anzahl der Kombinationen im Spiel ausgedrückt werden, die zu einem Gewinn führen geteilt durch die Anzahl der möglichen Kombinationen, die zu Ihrem Verlust führen.

Beispielsweise liegt die Chance, den Jackpot der US-amerikanischen Powerball-Lotterie zu gewinnen, bei etwa 1 zu 292 Millionen (1/292.201.338), wobei 292.201.338 die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen ist. Die Reihenfolge spielt bei den meisten Lottoziehungen keine Rolle. Schauen wir uns das Pokerbeispiel genauer an: Eine Pokerhand kann als eine 5er-Kartenkombination aus einem 52-Karten-Deck beschrieben werden. Die 5 Karten der Hand sind alle unterschiedlich und die Reihenfolge der Karten in der Hand spielt keine Rolle, es handelt sich also um ein kombinatorisches Problem. Mit unserem Kombinationsrechner können Sie berechnen, dass 2.598.960 solcher Kombinationen möglich sind, die Chance, eine bestimmte Hand zu ziehen, also 1 / 2.598.960 beträgt.

Hier ist ein anschaulicheres Beispiel dafür, wie Kombinationen funktionieren. Angenommen, Sie müssen zwei von drei Aktivitäten auswählen (ein 3-wähle-2-Problem): Radfahren, Baseball und Tennis. Die möglichen Kombinationen würden so aussehen:

Kombinationsrechnungen spielen unter anderem in Statistiken, Problemlösungs- und Entscheidungsalgorithmen eine Rolle.

Wie berechnet man Kombinationen?

Es gibt zwei Formeln zur Berechnung der Anzahl möglicher Kombinationen in einem „n wähle k“-Szenario, auch bekannt als „n wähle r“, abhängig davon, ob die Wiederholung der ausgewählten Elemente zulässig ist oder nicht. In beiden Gleichungen „!“ bezeichnet die faktorielle Operation: Multiplizieren der Folge ganzer Zahlen von 1 bis zu dieser Zahl. Beispielsweise ist eine Fakultät von 4 gleich 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Kombinationsformel ohne Wiederholung

Um die Anzahl möglicher Kombinationen zu berechnenRsich nicht wiederholende Elemente aus einer Menge vonNArten von Elementen, die Formel lautet:

Die obige Gleichung drückt daher die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten ausReinzigartige ungeordnete Ergebnisse ausNmögliche Entitäten und wird oft als nCr-Formel bezeichnet.

Formel für mögliche Kombinationen mit Wiederholung

Können sich die Elemente in der Kombination wiederholen, lautet die entsprechende Gleichung:

Das Ergebnis ist die Anzahl aller möglichen Möglichkeiten, r nicht eindeutige Elemente aus einer Menge auszuwählenNElemente. In einigen Versionen der oben genannten FormelnRwird ersetzt durchkohne dass sich ihr Ergebnis oder ihre Interpretation ändert.

Kombinationen mit Wiederholung

In manchen Fällen ist die Wiederholung desselben Elements in den Kombinationen erwünscht. Wenn Sie beispielsweise versuchen, Teams aus einer Gruppe von 20 Personen zusammenzustellen, ist eine Wiederholung unmöglich, da jeder einzigartig ist. Wenn Sie jedoch versuchen, zwei Früchte aus einer Gruppe von drei Obstsorten auszuwählen, ist dies möglich Wenn Sie von jedem Typ mehr als einen auswählen, liegt ein Wiederholungsproblem vor. Die Formel für die Lösung finden Sie oben, aber im Allgemeinen ist es bequemer, einfach das Kontrollkästchen „mit Wiederholung“ in unserem Kombinationsrechner zu aktivieren und uns die Arbeit für Sie erledigen zu lassen.

N wähle K Probleme mit Lösungen

Bei den häufig auftretenden Problemen in der Kombinatorik geht es um die AuswahlkElemente aus einer Menge vonNoder die sogenannten „n wähle k“-Probleme, auch bekannt als „n wähle r“. Hier werden wir einige untersuchen und ihre Lösungen durcharbeiten. Diese können alle mit unserem NCR-Formelrechner oben überprüft werden.

Wie viele Kombinationen mit N Zahlen?

In der einfachsten Version dieser Probleme ist N gleich K (oder R), wobei oft impliziert wird, dass Wiederholungen erlaubt sind, andernfalls ist die Antwort immer eins. Wenn Wiederholungen erlaubt sind, kann die Antwort durch Lösen der Gleichung erhalten werden(2 · n - 1)! / (n! · (n - 1)!). Wenn die Aufgabe beispielsweise darin besteht, herauszufinden, wie viele Kombinationen mit 4 Zahlen möglich sind, berechnen Sie (2 · 4 - 1)! = 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 / (24 · 6) = 5040 / 144 = 35.

3 wähle 2

Was wäre, wenn jemand gefragt würde, wie viele einzigartige Kombinationen zweier Zahlen möglich seien, wenn er aus insgesamt drei Zahlen wähle? Die Antwort lautet bei Verwendung der NCR-Formel ohne Wiederholung oben einfach: 3! / (2! · (3 - 2)!) = 3! / (2! · 1!) = 3 · 2 · 1 / (2 · 1 · 1) = 6 / 2 = 3. Bei 3 wähle 2 gibt es nur 3 mögliche Kombinationen.

4 wähle 2

Was wäre, wenn wir zwei von vier Artikeln auswählen würden und keine Wiederholung erlaubt wäre? Wenn wir dieselbe Formel verwenden und N und R ersetzen, erhalten wir die Antwort 4! / (2! · (4 - 2)!) = 24 / (2! · 2!) = 24 / 4 = 6 Möglichkeiten, zwei einzigartige Elemente aus insgesamt vier auszuwählen.

4 wähle 3

Um zu berechnen, wie viele Kombinationen von drei von vier Elementen ausgewählt werden können, ohne dass ein Element wiederholt wird, verwenden Sie die NCR-Formel und ersetzen Sie, um 4 zu erhalten! / (3! · (4 - 3)!) = 24 / (3! · 1!) = 24 / 6 = 4. Beachten Sie, dass dies weniger ist, als wenn Sie wie im vorherigen Beispiel zwei von vier auswählen würden.

N wähle K-Tabelle

Hier ist eine Tabelle mit Lösungen für häufig auftretende Kombinationsprobleme, die je nach verwendeter Notation als n wähle k oder n wähle r bekannt sind. Lösungen werden sowohl mit als auch ohne Wiederholung bereitgestellt.

Für andere Lösungen verwenden Sie einfach den oben genannten nCr-Rechner.

Bei Betrachtung der Tabelle lassen sich drei allgemeine Regeln ableiten:

• Regel Nr. 1: Für KombinationenOhne Wiederholung gibt es die höchste Anzahl an Möglichkeiten, wenn r = n / 2(k = n/2, wenn diese Notation verwendet wird). Wenn man beispielsweise aus sechs Elementen auswählt, hat man die meisten möglichen Kombinationen, wenn r = 6 / 2 = 3 (k = 3, wenn k anstelle von r verwendet wird).
• Regel Nr. 2:Bei Wiederholung nimmt die Anzahl der möglichen Kombinationen zu, je näher r an n liegt(oder k steht in dieser Notation für n).
• Regel Nr. 3:ohne Wiederholung, wenn n = r (oder n = k), gibt es nur eine einzige mögliche Auslosung.

Kombinationen vs. Permutationen

Der Unterschied zwischen Kombinationen und Permutationen besteht darin, dass uns beim Zählen von Kombinationen die Reihenfolge der Dinge, die wir mit Permutationen kombinieren, egal ist, die Reihenfolge zählt.Permutationen gelten für geordnete Listen, während Kombinationen für ungeordnete Gruppen gelten. Wenn Sie beispielsweise an die Anzahl der Kombinationen denken, die einen Safe oder eine Aktentasche öffnen, dann handelt es sich tatsächlich um Permutationen, da eine Änderung der Reihenfolge der Zahlen oder Buchstaben zu einem ungültigen Code führen würde. Wenn Sie jedoch darüber nachdenken, wie Sie Ihre Kleider mit Ihren Schuhen oder Ihre Krawatten mit Ihren Anzügen kombinieren können, spielt die Reihenfolge keine Rolle, da das Endergebnis, wenn Sie zuerst die Krawatte und dann den Anzug wählen, dasselbe ist Wählen Sie zuerst den Anzug und dann die Krawatte.

Im allgemeinen Sprachgebrauch werden Permutationen häufig fälschlicherweise als „Kombinationen“ bezeichnet. Beispielsweise ist eine Schlosskombination tatsächlich eine Permutation. In einem anderen Beispiel: Wenn Sie abschätzen möchten, wie viele Rechenstunden Sie benötigen, um ein gehashtes Passwort brutal zu erzwingen, berechnen Sie die Anzahl der Permutationen, nicht die Anzahl der Kombinationen.