Rechner für aufeinanderfolgende ganze Zahlen (2023)

Willkommen bei Omni'sRechner für aufeinanderfolgende ganze Zahlen, wo wir mathematische Probleme mit aufeinanderfolgenden Zahlen angehen. Beispielsweise kennen wir manchmal die Summe von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen und möchten dies gerne tundie einzelnen Werte selbst finden. Wir werden auch zwei gängige Varianten solcher Übungen behandeln, bei denen wir uns auf konsekutive Übungen beschränkenseltsamganze Zahlen oder fortlaufendselbstganze Zahlen.

Aber bevor wir zu solch anspruchsvollen Fragen kommen, beantworten wir die grundlegende Frage:Was sind aufeinanderfolgende ganze Zahlen?

Per Definition,Ganzzahlen sind die Zahlen, die wir ohne Bruchteil darstellen können. Äquivalent dazu bestehen sie ausalle positiven ganzen Zahlen(d. h.,$1$1,$2$2,$3$3, usw),ihre Gegensätze(d. h.,$-1$−1,$-2$−2,$-3$−3, usw),und Null. Beachten Sie jedoch, dass der erste Satz beispielsweise Folgendes bedeutet:$4/2$4/2ist auch eine ganze Zahl, da wirdürfenstellen Sie es als ganze Zahl dar.

Die Bedeutung vonaufeinanderfolgendenIst "folgen einander kontinuierlich.“ Wir wissen, dass wir alle reellen Zahlen in das, was wir nennen, einordnen könnender Zahlenstrahl. Daher können wir tatsächlich sagen, dass ein Wert „folgt" ein anderes, womit wir normalerweise meinen, dass es größer ist. Es gibt jedoch solcheunendlich viele Zahlenzwischen, sagen wir,$3$3Und$4$4: Da ist die gemischte Zahl$3\tfrac{3}{4}$343​, die Dezimalzahl$3.519$3.519, oder der$\Pi$Piaus Kreisberechnungen. Was sind also fortlaufende Zahlen?

Tatsächlich bedeutet dieser Begriff normalerweise „fortlaufende Ganzzahlen.“ Stimmt, die Vereinfachung ist irreführend und Mathematiker könnten sie sogar als konzeptionell falsch bezeichnen. Dennochwir müssen es annehmen.

Was sind also aufeinanderfolgende ganze Zahlen? Mit den beiden oben genannten Definitionen sind sie esganze Zahlen, die aufeinander folgen. Wir wissen zum Beispiel, dass unter ganzen Zahlen$4$4Kommt danach$3$3, und dazwischen gibt es nichts anderes (d. h. keine ganze Zahl). Weitere aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind$5$5,$6$6,$7$7,$8$8, usw; im umgekehrten Fall haben wir ...,$-1$−1,$0$0,$1$1, Und$2$2(Beachten Sie, wie wir vorher Punkte gesetzt haben$-1$−1denn in diesem Falldie Liste geht ewig weiterin diese Richtung).

Beachten Sie, wie dies für eine beliebige ganze Zahl geschieht$X$X, seine fortlaufenden Nummern haben die Form$x + 1$X+1,$x + 2$X+2,$x + 3$X+3, usw. Diese einfache Beobachtung wird sich bei den kommenden Berechnungen als entscheidend erweisen.

Die Bedeutung fortlaufender Zahlen scheint ein einfaches Konzept zu sein, finden Sie nicht? Also lasst unsetwas aufpeppenund Parität hinzufügen.

Manchmal möchten wir uns nur mit realen Szenarien (womit wir Mathematiklehrbücher meinen) befassenaufeinanderfolgende gerade ganze Zahlenoderaufeinanderfolgende ungerade ganze Zahlen. Der Konsekutiv-Ganzzahlrechner von Omni hat sich entschieden, solche lebensechten Probleme zu lösen (d. h. Ihnen zu helfen, eine gute Note zu bekommen) und bietet die Möglichkeit zu wählen, ob die Werte gerade, ungerade oder was auch immer sein sollen.

In Berechnungen müssen wirBeschreiben Sie solche ganzen Zahlen algebraisch. Inden obigen Abschnitt, wir verwendeten$X$X,$x+1$X+1,$x + 2$X+2, usw. Beobachten Sie dasDas können wir nicht einfach kopierenHier. Tatsächlich, z$x = 5$X=5, die drei Ausdrücke geben$5$5,$6$6, Und$7$7, während für$x = 6$X=6sie sind$6$6,$7$7, Und$8$8. Weder Triple listet aufeinanderfolgende gerade ganze Zahlen noch aufeinanderfolgende ungerade ganze Zahlen auf.

Am Anfang vondiese Abteilung, das haben wir gesagtAuch ganze Zahlen sind durch teilbar $2$2. Das heißt, wir können sie im Formular darstellen$2 \cdot x$2⋅Xmit$X$Xeine ganze Zahl. In der Tat,$4 = 2 \cdot 2$4=2⋅2,$18 = 2 \cdot 9$18=2⋅9,$-22 = 2 \cdot(-11)$−22=2⋅(−11), usw.

Andererseits,ungerade Zahlen sind nicht durch teilbar $2$2oder, äquivalent, sie geben den Rest an$1$1wenn geteilt durch$2$2. Daher unterscheiden sie sich um$1$1aus einer angrenzenden geraden Zahl, damit wir sie in der Form darstellen können$2 \cdot x + 1$2⋅X+1. In der Tat,$7 = 2 \cdot 3 + 1$7=2⋅3+1,$17 = 2\cdot 8 + 1$17=2⋅8+1,$-39 = 2 \cdot (-20) + 1$−39=2⋅(−20)+1, usw.

Rest, Quotient, Modul ... Was sind das nochmal? OmnisQuotientenrechner,Restrechner, UndModulo-Rechnerkann Ihnen helfen, diese Begriffe zu entwirren!

Beachten Sie außerdem, dass sich aufeinanderfolgende gerade ganze Zahlen und aufeinanderfolgende ungerade ganze Zahlen um unterscheiden$2$2. Beispiele hierfür sind in der Tat$-2$−2,$0$0,$2$2,$4$4Und$-5$−5,$-3$−3,$-1$−1,$1$1, bzw. Also, wenn uns ein reales Szenario dazu zwingtSchreiben Sie solche Folgen algebraisch, wir können benutzen:

• $2x$2X,$2x + 2$2X+2,$2x + 4$2X+4,$2x + 6$2X+6usw. für aufeinanderfolgende gerade ganze Zahlen; Und
• $2x + 1$2X+1,$2x + 3$2X+3,$2x + 5$2X+5,$2x + 7$2X+7usw. für aufeinanderfolgende ungerade ganze Zahlen.

Und jetzt ist es an der Zeit, die obige Darstellung zu verwenden undWenden Sie es auf ein paar mathematische Probleme anmit fortlaufenden Nummern.

Es gibt zwei typische mathematische Probleme für aufeinanderfolgende ganze Zahlen. Im Folgenden beschreiben wir sie zusammen mit einigenFormeln, die bei der Lösungsfindung hilfreich sein können. Beachten Sie, dass jedes in der Variante mit aufeinanderfolgenden geraden/ungerade ganzen Zahlen vorliegen kann.

1.Die Summe von$N$Naufeinanderfolgende ganze Zahlen ist gleich$S$S. Finden Sie diese ganzen Zahlen.

Glücklicherweise,Das hier ist ganz einfach, egal ob es sich um die Summe von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen oder von zwanzig handelt.

Im Wesentlichen wollen wir fortlaufende Zahlen finden$a_1$A1​,$a_2$A2​,$a_3$A3​, ...,$ein$AN​so dass$a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = S$A1​+A2​+A3​+...+AN​=S. Ausder erste Abschnitt, wir wisseneine clevere Art, diese Zahlen zu schreiben. Genauer gesagt bezeichnen wir das Kleinste mit$X$X, dann werden die nächsten sein$x + 1$X+1,$x + 2$X+2,$x + 3$X+3, bis zu$x + (n-1)$X+(N−1). Das gibt:

Damit können wir alle betreffenden ganzen Zahlen berechnen. Denken Sie jedoch darannicht alle Werte von $S$S eine Antwort geben. In einigen Fällen ist die$X$Xam Ende kann sich herausstellen, dass es sich um einen gebrochenen Ausdruck handelt. Das würde bedeuten, dass keine ganzen Zahlen unsere Bedingungen erfüllen.

2.Das Produkt von$N$Naufeinanderfolgende ganze Zahlen ist gleich$P$P. Finden Sie diese ganzen Zahlen.

Dieses Mal suchen wir nach fortlaufenden Nummern$a_1$A1​,$a_2$A2​,$a_3$A3​, ...,$ein$AN​so dass$a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot ... \cdot a_n = P$A1​⋅A2​⋅A3​⋅...⋅AN​=P. Auch hier können wir die kleinste dieser ganzen Zahlen mit bezeichnen$X$Xund verwenden Sie die Notation vonder erste Abschnittzu bekommen:

Und hier wird es schwierig.Wenn wir die obige Gleichung unter Verwendung der Verteilungseigenschaft der Multiplikation über der Addition umschreiben, erhalten wirein kompliziertes Polynom der Ordnung $N$N. Solche Dinge sind alles andere als einfach und es gibt keine algorithmische Möglichkeit, Polynomgleichungen höherer Ordnung zu lösen.

Wenn$n = 2$N=2, d.h. wir haben ein Produkt aus zwei aufeinanderfolgenden, dann sieht die obige Gleichung so aus:

🙋 Benutze Omni'sDiskriminanzrechnerund dasRechner für quadratische Formelnum problemlos Lösungen für eine quadratische Gleichung zu finden!

Wie auch immer, wenn$n = 3$N=3, DannDie Dinge werden komplizierter. Wir erhalten eine kubische Gleichung, und obwohl es immer noch Algorithmen gibt, um sie zu lösen, ist es nicht mehr so ​​einfach wie zuvor. Und je höher wir gehen, desto höher$N$N, Dinge bekommennoch problematischer.

Die gute Seite ist dasWir sind nur an ganzzahligen Lösungen interessiert. Im Wesentlichen bedeutet dies, dass wir versuchen können, die Antwort durch Versuch und Irrtum zu finden, also alles zu überprüfenvernünftigGanzzahlen und prüfen Sie, ob eine davon passt. Der Rechner für fortlaufende ganze Zahlen von Omni macht genau das.

Okay, das scheint soGenug technische Details für den Moment. Wir gehen zu Beispielen über, die tatsächliche Zahlen enthalten, und nutzen die Gelegenheit zur Erklärungwie man den Rechner für aufeinanderfolgende ganze Zahlen verwendet.

Nehmen wir an, dass wir das wissendie Summe von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ist gleich $42$42. Lassen Sie uns diese ganzen Zahlen finden, aber bevor wir das selbst tun, wollen wir sehen, wie Omni funktioniertDer Rechner für aufeinanderfolgende ganze Zahlen kann die Arbeit für uns erledigen.

Wir sollten die variablen Felder im Tool so füllen, dass sieBilden Sie einen Satz, der unser Problem beschreibt. Erstens, da wir es getan habendie Summeaus drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen wählen wir „die Summe" aus der Top-Liste. Als nächstes suchen wirdrei Zahlen, also geben wir ein$3$3im Feld unten. Dann wollen wir, dass die Summe gleich ist$42$42, also schreiben wir$42$42in der dritten Zeile. Zuletzt wählen wir „beliebig" aus der unteren Liste, da wir uns nicht nur auf aufeinanderfolgende gerade oder ungerade ganze Zahlen beschränken.

Alles in allem sollten die Felder des Rechners für fortlaufende Ganzzahlen so aussehen (Zeile für Zeile):

• Ich willdie Summe;

• Von$3$3fortlaufende Ganzzahlen;

• Gleich$42$42;

• Und ich erlaube esbeliebigganze Zahlen.

Sobald wir alle Daten eingegeben haben,Der Rechner für fortlaufende ganze Zahlen spuckt die Antwort ausunterhalb. Aber bevor wir es verraten, versuchen wir es selbst zu finden.

Wir beginnen mitÜbersetzen des Problems in einen algebraischen Ausdruck. Wenn wir die kleinste der ganzen Zahlen mit bezeichnen$X$X, und befolgen Sie dann die Anweisungen vonder erste Abschnitt, wir können die Aufgabe schreiben als:

was bedeutet, dassUnsere drei ganzen Zahlen sind $13$13,$14$14,Und $15$15, und in der Tat,$13 + 14 + 15 = 42$13+14+15=42.

Zum Vergleich versuchen wir es jetztFinden Sie zwei aufeinanderfolgende ungerade ganze Zahlen, deren Produkt gleich ist $63$63. Auch hier beginnen wir damit, wie wir den Rechner für fortlaufende ganze Zahlen dazu bringen können, die Drecksarbeit zu erledigen.

Dieses Mal geht es um Multiplikation, also wählen wir „das Produkt" aus der Top-Liste. Wir haben nurzweiganze Zahlen, also geben wir ein2in die zweite Zeile, und wir möchten, dass das Produkt vorhanden ist63, also schreiben wir diese Zahl in das nächste Feld. Zuletzt wählen wir „nur seltsam" aus der unteren Liste, da wir nur an solchen ganzen Zahlen interessiert sind.

Alles in allem sollten die Felder des Rechners für fortlaufende ganze Zahlen wie folgt aussehen:

• Ich willdas Produkt

• von2fortlaufende Ganzzahlen

• gleich sein63

• und ich erlaubenur seltsamganze Zahlen.

Sobald wir alle Daten eingegeben haben,Der Rechner für fortlaufende ganze Zahlen spuckt die Antwort ausunterhalb. Und noch einmal: Wir verraten es noch nicht!

Um die Lösung selbst zu finden, erinnern Sie sich ander zweite Abschnitt wie wir aufeinanderfolgende ungerade ganze Zahlen algebraisch darstellen können. Um genau zu sein, bezeichnen wir den kleineren mit$2x + 1$2X+1für$X$Xeine ganze Zahl, daher lässt sich unser Problem wie folgt übersetzen:

Einfache Berechnungen zeigen, dass die quadratische Gleichung giltzwei Lösungen:$-5$−5Und$3$3. Deshalb haben wirzwei Paare aufeinanderfolgender ungerader Ganzzahlendie unsere Annahmen erfüllen:$-9$−9Und$-7$−7, Und$7$7Und$9$9. In der Tat,$\small (-9)\cdot (-7) = 7 \cdot 9 = 63$(−9)⋅(−7)=7⋅9=63.

Voilà!Einfache, aber zufriedenstellende Berechnungen, finden Sie nicht? Dennoch können die Formeln, wie bereits erwähnt, etwas unübersichtlich werden, wenn wir uns entscheiden, zu viele Binome zu multiplizieren. Glücklicherweise,Es gibt immer den Omni-Rechner, der uns den Ärger erspart!

ZuFinden Sie aufeinanderfolgende ganze Zahlen, du brauchst:

1. Angebenwas Sie brauchen: beliebige aufeinanderfolgende ganze Zahlen oder nur gerade/ungerade Zahlen.

2. Bezeichnender kleinste von ihnen von:

   (Video) Terme berechnen | Terme und Gleichungen | Mathematik | Lehrerschmidt

   • Xwenn Sie ganze Zahlen zulassen;

   • 2xwenn Sie nur gerade ganze Zahlen wollen; oder

   • 2x + 1wenn Sie nur ungerade ganze Zahlen wollen.

3. Schreibendie nächsten ganzen Zahlen als:

   • x + 1,x + 2,x + 3usw. für alle ganzen Zahlen;

   • 2x + 2,2x + 4,2x + 6usw. nur für gerade ganze Zahlen; oder

   • 2x + 3,2x + 5,2x + 7usw. nur für ungerade ganze Zahlen.

4. Wenn benötigt,verwendendie Darstellung zur Beschreibung der Eigenschaften der ganzen Zahlen.

5. Verwendendie algebraische Beschreibung, um die ganzen Zahlen zu finden.

6. GenießenIhre aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen.

ZuLösen Sie aufeinanderfolgende ganzzahlige Probleme, du brauchst:

1. Angebenwas Sie brauchen: beliebige aufeinanderfolgende ganze Zahlen oder nur gerade/ungerade Zahlen.
2. Bezeichnender kleinste von ihnen von:
   • Xwenn Sie ganze Zahlen zulassen;
   • 2xwenn Sie nur gerade ganze Zahlen wollen; oder
   • 2x + 1wenn Sie nur ungerade ganze Zahlen wollen.
3. Schreibendie nächsten ganzen Zahlen als:
   • x + 1,x + 2,x + 3usw. für alle ganzen Zahlen;
   • 2x + 2,2x + 4,2x + 6usw. nur für gerade ganze Zahlen; oder
   • 2x + 3,2x + 5,2x + 7usw. nur für ungerade ganze Zahlen.
4. Verwendendie Darstellungen zum Schreiben von Gleichungen, z. B. für die Summe oder das Produkt.
5. Lösendie Gleichung auf die übliche Weise.
6. Ersatzdie Lösung fürXum die ganzen Zahlen zu finden.
7. Genießendie Lösung Ihres konsekutiven Ganzzahlproblems.

ZuFinden Sie aufeinanderfolgende ungerade ganze Zahlen, du brauchst:

1. Bezeichnender kleinste von ihnen2x + 1.
2. Schreibendie nächsten ganzen Zahlen als2x + 1,2x + 3,2x + 5, usw.
3. Wenn benötigt,verwendendie Darstellung zur Beschreibung der Eigenschaften der ganzen Zahlen.
4. Verwendendie algebraische Beschreibung, um die ganzen Zahlen zu finden.
5. GenießenIhre aufeinanderfolgenden ungeraden ganzen Zahlen.

ZuFinden Sie drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen, du brauchst:

1. Angebenwas Sie brauchen: beliebige aufeinanderfolgende ganze Zahlen oder nur gerade/ungerade Zahlen.
2. Bezeichnender kleinste von ihnen von:
   • Xwenn Sie ganze Zahlen zulassen;
   • 2xwenn Sie nur gerade ganze Zahlen wollen; oder
   • 2x + 1wenn Sie nur ungerade ganze Zahlen wollen.
3. Schreibendie nächsten ganzen Zahlen als:
   • x + 1Undx + 2für beliebige ganze Zahlen;
   • 2x + 2Und2x + 4nur für gerade ganze Zahlen; oder
   • 2x + 3Und2x + 5nur für ungerade ganze Zahlen.
4. Wenn benötigt,verwendendie Darstellung zur Beschreibung der Eigenschaften der ganzen Zahlen.
5. Verwendendie algebraische Beschreibung, um die ganzen Zahlen zu finden.
6. GenießenIhre drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen.

ZuFinden Sie zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen, du brauchst:

1. Angebenwas Sie brauchen: beliebige aufeinanderfolgende ganze Zahlen oder nur gerade/ungerade Zahlen.
2. Bezeichnender kleinste von ihnen von:
   • Xwenn Sie ganze Zahlen zulassen;
   • 2xwenn Sie nur gerade ganze Zahlen wollen; oder
   • 2x + 1wenn Sie nur ungerade ganze Zahlen wollen.
3. Schreibendie nächste ganze Zahl als:
   • x + 1für beliebige ganze Zahlen;
   • 2x + 2nur für gerade ganze Zahlen; oder
   • 2x + 3nur für ungerade ganze Zahlen.
4. Wenn benötigt,verwendendie Darstellung zur Beschreibung der Eigenschaften der ganzen Zahlen.
5. Verwendendie algebraische Beschreibung, um die ganzen Zahlen zu finden.
6. GenießenIhre zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen.

ZuFinden Sie zwei aufeinanderfolgende ungerade ganze Zahlen, du brauchst:

1. Bezeichnender kleinste von ihnen2x + 1.
2. Schreibendie nächste ganze Zahl als2x + 3.
3. Wenn benötigt,verwendendie Darstellung zur Beschreibung der Eigenschaften der ganzen Zahlen.
4. Verwendendie algebraische Beschreibung, um die ganzen Zahlen zu finden.
5. GenießenIhre zwei aufeinanderfolgenden ungeraden ganzen Zahlen.